Matemáticas. Enseñanza particular. PabloMC: Sucesiones V

Una sucesión es un conjunto de elementos, comúnmente números, dispuestos uno a continuación de otro

A cada elemento dentro de la sucesión se le conoce como término de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. Así, en general,

denota al n-ésimo término de la sucesión

. Por ejemplo, el décimo término de la sucesión

.
Determinación de una sucesión

Término general

Podemos determinar una sucesión por medio de lo que conocemos término general. El término general nos ayuda a calcular el valor de cada término de la sucesión con base a su posición. En general, tenemos que

y denotamos como

Ejemplo: Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión

La sucesión está dada por el término general

Para encontrar los términos de la sucesión, sustituimos los valores de

Formalmente las sucesiones se conocen como funciones que van del conjunto de los números naturales al conjunto de los números reales, esto es

Por recurrencia

Aunque la recurrencia no es muy formal es común ver sucesiones definidas por este método. La recurrencia consiste en definir un número finitos de términos por un valor específico y los demás por medio de operaciones entre los términos anteriores, estas operaciones las definimos por medio de una función de la forma

Comúnmente sólo definimos el primer término con un valor específico y los demás términos como una función del término anterior inmediato.

Ejemplo: Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión

definida por

para

.

Los términos de la sucesión vienen definidos a partir del término anterior, esto es, a partir conocer un término podemos encontrar el término siguiente. Conocemos el primer término

, entonces podemos encontrar el segundo término

Conocemos el segundo término

, entonces podemos encontrar el tercer término

Conocemos el tercer término

, entonces podemos encontrar el cuarto término

Conocemos el cuarto término

, entonces podemos encontrar el quinto término

dando como resultado

Sucesiones monótonas

En esta parte clasificaremos las sucesiones respecto a la forma en que comparamos cada par consecutivo de términos.

Sucesión monótona creciente

Una sucesión $\{a_n\}$ es monótona creciente (o monótonamente creciente) si para cada par de términos consecutivos $a_n$ y $a_{n + 1}$ se cumple que $\displaystyle a_n \leq a_{n + 1}$
Ejemplo: Para la sucesión $\displaystyle \{a_n\} = \left \{n^2\right\} = \left \{ 1, 4, 9, 16, \dots \right\}$ notamos que
$\begin{array}{rcl} n^2 & \leq & (n + 1)^2 \\\\ n^2 & \leq & n^2 + 2n + 1 \\\\ 0 & \leq & 2n + 1 \end{array}$
La última inecuación se cumple para todo $n$ , por lo tanto la sucesión es monónona creciente.
Sucesión estrictamente creciente
Una sucesión $\{a_n\}$ es estrictamente creciente si para cada par de términos consecutivos $a_n$ y $a_{n + 1}$ se cumple que $\displaystyle a_n < a_{n + 1}$
Ejemplo: Para la sucesión
$\displaystyle \{a_n\} = \left \{n\right\} = \left \{ 1, 2, 3, 4, \dots \right\}$ notamos que
$\begin{array}{rcl} n & < & n + 1 \\\\ 0 & < & 1\end{array}$
La última inecuación se cumple siempre, por lo tanto la sucesión es estrictamente creciente.
Sucesión monótona decreciente
Una sucesión $\{a_n\}$ es monótona decreciente (o monótonamente decreciente) si para cada par de términos consecutivos $a_n$ y $a_{n + 1}$ se cumple que $\displaystyle a_n \geq a_{n + 1}$
Ejemplo: Para la sucesión
$\displaystyle \{a_n\} = \left \{\frac{1}{n}\right\} = \left \{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \dots \right\}$ notamos que
$\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{n} & \geq & \cfrac{1}{n + 1} \\\\ n & \leq & n + 1 \\\\ 0 & \leq & 1\end{array}$
La última inecuación se cumple para todo $n$ , por lo tanto la sucesión es monónona decreciente.

Sucesión estrictamente decreciente

Una sucesión $\{a_n\}$ es estrictamente decreciente si para cada par de términos consecutivos $a_n$ y $a_{n + 1}$ se cumple que $\displaystyle a_n > a_{n + 1}$
Ejemplo: Para la sucesión $\displaystyle \{a_n\} = \left \{1 - n\right\} = \left \{ 0, -1, -2, -3 \dots \right\}$ notamos que

$\begin{array}{rcl} 1 - n & > & 1 - (n + 1) \\\\ 1 - n & > & 1 - n - 1 \\\\ 0 & > & -1\end{array}$
La última inecuación se cumple siempre, por lo tanto la sucesión es estrictamente decreciente.

Sucesiones acotadas

Aquí veremos lo que es una sucesión acotada y los distintos tipos de cotas.

Sucesión acotada inferiomente

Una sucesión $\{a_n\}$ está acotada inferiormente si existe un número real $K_i \in \mathbb{R}$ tal que
$\displaystyle K_i \leq a_n, \quad \forall n$
en pocas palabras, si $K_i$ es menor o igual que todos los términos de la sucesión. En este caso decimos que $K_i$ es una cota inferior de $\{a_n\}$ . Notemos que todo número real $c$ que cumpla que $\displaystyle c \leq a_n, \quad \forall n$ es una cota inferior de $\{a_n\}$ .
Para la sucesión $\displaystyle \{a_n\} = \{n\} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ siempre se cumple que $0 \leq n$
Así tenemos que $0$ es una cota inferior de $\{a_n\}$ . Por lo tanto $\{a_n\}$ es una sucesión acotada inferiormente. Igual los números $-1$ , $-2$ también son cotas inferiores de $\{a_n\}$ .

Sucesión acotada superiormente

Una sucesión $\{a_n\}$ está acotada superiormente si existe un número real $K_s \in \mathbb{R}$ tal que
$\displaystyle K_s \geq a_n, \quad \forall n$ , en pocas palabras, si $K_s$ es mayor o igual que todos los términos de la sucesión. En este caso decimos que $K_s$ es una cota superior de $\{a_n\}$ . Notemos que todo número real $c$ que cumpla que $\displaystyle c \geq a_n, \quad \forall n$ es una cota superior de $\{a_n\}$ .
Ejemplo: Para la sucesión $\displaystyle \{a_n\} = \left \{\cfrac{1}{n}\right\} = \left \{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \dots \right\}$ siempre se cumple que
$1 \geq \cfrac{1}{n}$
Así tenemos que $1$ es una cota superior de $\{a_n\}$ . Por lo tanto $\{a_n\}$ es una sucesión acotada superiormente. Igual los números $10$ , $100$ también son cotas superiores de $\{a_n\}$ .

Sucesión totalmente acotada

Una sucesión $\{a_n\}$ está totalmente acotada si está acotada inferior y superiormente. En otras palabras, si existen números reales $K_i, K_s \in \mathbb{R}$ tales que
$\displaystyle K_i \leq a_n \leq K_s, \quad \forall n$
Otra definición equivalente es que $\{a_n\}$ está totalmente acotada si existe número real $K \in \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle |a_n| \leq K, \quad \forall n$

Matemáticas. Enseñanza particular. PabloMC

Sucesiones V

Sucesiones monótonas

Contenidos de matemáticas del nivel secundario.

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