Números racionales III

 

Equivalencia

Si se cumple:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\quad \longleftrightarrow \quad ad=bc}$

Orden

Cuando ambos denominadores son positivos:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}\quad \longleftrightarrow \quad ad<bc}$

Si cualquiera de los denominadores es negativo, las fracciones primero deben convertirse en otras equivalentes con denominadores positivos, siguiendo las ecuaciones:

${\displaystyle {\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}}$

y

${\displaystyle {\frac {a}{-b}}={\frac {-a}{b}}}$

Operaciones Racionales

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se las llama operaciones racionales.⁹​

Suma

Se define la suma o adición de dos números racionales a la operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su suma:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\cfrac {ad}{bd}}+{\cfrac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$

Resta[editar]

La operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su diferencia se llama resta o diferencia y se la considera operación inversa de la suma.⁹​

${\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}+\left(-{\frac {a}{b}}\right)}$.

Multiplicación

La multiplicación o producto de dos números racionales:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\times c}{b\times d}}}$.

División

Se define la división o cociente de dos racionales r entre s distinto de 0, al producto ${\displaystyle r\times s^{-1}}$. En otra notación,

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}}$.

Es una operación totalmente definida, pero se asume que es una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación s·x=r, s≠0.

Inversos

Los inversos aditivo y multiplicativo existen en los números racionales:

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\quad {\mbox{y}}\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}{\mbox{ si }}a\neq 0.}$

Número racional en base decimal

Véanse también: Representación decimal, Número decimal y Número decimal periódico.

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Utilizando la representación decimal, todo número racional puede expresarse como un número decimal finito (exacto) o periódico y viceversa. De esta manera, el valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador.

Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:

• Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal». Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {8}{5}}=1,6}$

• Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\cfrac {1}{7}}&=&0,142857142857\dots \\&=&0,{\overline {142857}}\end{array}}}$

Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\cfrac {1}{60}}&=&0,01666\dots \\&=&0,01{\overline {6}}\end{array}}}$

De la misma manera se aplica la representación de un número racional en un sistema de numeración posicional en bases distintas de diez.

Número racional en otras bases

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base no tienen representación finita.

Por ejemplo, en base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y solo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma ${\displaystyle 2^{n}\cdot 5^{p}}$ (${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle p}$ enteros), así como en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.

Construcción formal

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

${\displaystyle 2,5={\frac {25}{10}}={\frac {10}{4}}={\frac {5}{2}}}$

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional.

Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros (a,b), con b≠0, con la siguiente relación de equivalencia:

${\displaystyle \left(a,b\right)\sim (c,d){\text{ si y solo si }}ad=bc}$,

donde el espacio de equivalencia de clases es el espacio cociente ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\})/\sim }$. Las operaciones de suma y multiplicación se definen como

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right)+(c,d)&=(ad+bc,bd)\\\left(a,b\right)\times (c,d)&=(ac,bd)\end{aligned}}}$

Se verifica que las dos operaciones definidas son compatibles con la relación de equivalencia, indicando de manera que ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ se puede definir como el conjunto cociente ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\})/\sim }$, con la relación de equivalencia descrita antes.

Téngase en cuenta que las operaciones definidas no son más que la formalización de las operaciones habituales entre fracciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}&={\frac {ad+bc}{bd}}\\{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}&={\frac {ac}{bd}}\end{aligned}}}$