Logaritmo V

 En análisis matemático el logaritmo de un número real positivo n, en una determinada base b, es el exponente x de b para obtener n:

${\displaystyle \log _{b}n=x\quad \Leftrightarrow \ \quad b^{x}=n}$

La base tiene que ser positiva y distinta de 1.

Así, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 10 al cubo vale 1000:

${\displaystyle \log _{10}1000=3\quad \Leftrightarrow \ \quad 10^{3}=1000}$

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos o logaritmación es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante —por identidades logarítmicas— que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).\,}$

• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

${\displaystyle \!\,\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\,}$

• El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

${\displaystyle \!\,\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)\,}$

• El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

${\displaystyle \!\,\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\,}$

• El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

${\displaystyle \!\,\log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})={\frac {\log _{b}(x)}{y}}\,}$

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

${\displaystyle \!\,{\sqrt[{y}]{x}}=x^{\frac {1}{y}}\,}$