Funciones polinómicas

 Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como:

El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales.

Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.

Se llama grado de una función polinómica al mayor exponente de sus términos. Por ejemplo, el polinomio de la función del gráfico de arriba es de grado 3.

Los diferentes a_i (a₀, a₁, …a_n), son números reales llamados coeficientes de un polinomio.

Las funciones polinómicas pueden clasificarse en diferentes tipos según el grado del polinomio:

• Funciones constantes: son funciones polinómicas de grado 0 (pues 0 es el coeficiente de x). No dependen de la variable independiente x:
  
  

  Su representación gráfica es una recta paralela al eje de abscisas.

• Funciones polinómicas de primer grado o de grado 1: son funciones que están compuestas por un escalar que multiplica a la variable independiente más una constante. Su mayor exponente es x elevado a 1.
  
  
  
  
  
  

  • Su representación gráfica es una recta de pendiente m.

    La m es la pendiente y la n la ordenada, o punto en donde corta la recta f al eje de ordenadas. Según los valores de m y n existen tres tipos:

    • Funciones afines: son funciones de primer grado que no pasan por el origen, es decir, la ordenada no es nula (n ≠ 0):
      F(x)= m(x) + n

      
      
      
    • Funciones lineales: son funciones polinómicas de grado 1 tales que la ordenada es nula (n = 0), de manera que:
      F(x)= m(x)
    • Funciones identidad: es un caso particular de funciones lineales, tal que a cada elemento x le hace corresponder éste mismo valor en f(x). Es decir, m = 1 y n = 0.
      F(x)= x
  • Funciones cuadráticas: son funciones polinómicas de grado 2, es decir, su mayor exponente es x elevado a 2 (x²):
    
    
    

    • Su representación gráfica es una parábola vertical.

    • Funciones cúbicas: son funciones polinómicas de grado 3. Por lo tanto, su mayor exponente es x elevado a 3 (x³)

    

    
    

    
    

  Propiedades de las funciones polinómicas

  Sean f(x) y g(x) dos funciones polinómicas, entonces:

  • La gráfica de una función polinómica corta al eje Y en (0,a₀).
  • Corta al eje X un número de veces igual o inferior al grado del polinomio n.
  • El número de máximos y mínimos relativos link de una función polinómica es, como mucho, el grado del polinomio menos 1 (n – 1).
  • En las funciones polinómicas no existen asíntotas.
  • El número de puntos de inflexión es igual o menor a n – 2.
  • Si el grado de todos los términos fuese impar, la gráfica sería simétrica respecto al origen de coordenada. Pero si todos los términos tuviesen grado par, la gráfica sería simétrica respecto al eje OY.
  • En la gráfica de una función polinómica, la rama de la derecha será creciente cuando el coeficiente del término de mayor grado, a_n, sea positivo. Y esa rama será decreciente cuando a_n sea negativo.
  • En la gráfica, la rama de la izquierda será decreciente cuando se cumpla que el grado del polinomio n sea par y el coeficiente del término de mayor grado, a_n, sea negativo. También será decreciente la rama izquierda cuando n sea impar y, al mismo tiempo, a_n sea positivo. En el resto de los casos, la rama izquierda será siempre creciente (irá creciendo hacia arriba).
  • La suma de dos funciones polinómicas es una función polinómica