Distribución Binomial

 En estadística, la distribución binomial o distribución binómica es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de  ensayos de Bernoulli independientes entre sí con una probabilidad fija  de ocurrencia de éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles, a uno de estos se le denomina “éxito” y tiene una probabilidad de ocurrencia  y al otro se le denomina “fracaso” y tiene una probabilidad . ²​

Experimento binomial[editar]

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). El valor de ambas posibilidades ha de ser constante en todos los experimentos, y se denotan como ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$ respectivamente o como ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle 1-p}$ de forma alternativa.

Se designa por ${\displaystyle X}$ a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los ${\displaystyle n}$ experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable ${\displaystyle X}$ sigue una distribución de probabilidad binomial.

Ejemplo[editar]

Supongamos que se lanza un dado 51 veces y queremos calcular la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces.

En este problema un ensayo consiste en lanzar el dado una vez. Consideramos un éxito si obtenemos un 3 pero si no sale 3 lo consideramos como un fracaso. Defínase ${\displaystyle X}$ como el número de veces que se obtiene un 3 en 51 lanzamientos.

En este caso tenemos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (51,1/6)}$ por lo que la probabilidad buscada es ${\displaystyle \operatorname {P} (X=20)}$

${\displaystyle \!P(X=20)={51 \choose 20}(1/6)^{20}(1-1/6)^{51-20}=0.0000744\,\!}$