Derivada

 La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Derivada de una función[editar]

Una animación que da una idea intuitiva de la derivada, ya que el «swing» de una función cambia cuando cambia el argumento.

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto ${\displaystyle a\,}$ se define como sigue:

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$,

si este límite existe, de lo contrario, ${\displaystyle f'}$, la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniformemente acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su composición sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de teoremas anteriores de límites.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$,

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de ${\displaystyle a\,}$. El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, es posible demostrar que el cálculo de la derivada con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.