Matemáticas. Enseñanza particular. PabloMC: Concepto de límite

Límite de una función

Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Artículo principal: Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que este pertenezca al dominio de la función.¹ Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Coloquialmente, se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a c es L , y se escribe:

$\lim _{x\to c}\,\,f(x)=L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

{\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)$

Límite de una función en un punto
El límite de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ , es el valor al que se acercan las imágenes (las $f(x)=y$ , puntos del codominio) cuando los puntos del dominio (las $x$ ) se acercan al valor $x_0$ . Es decir, diremos que $L$ es el límite de $f(x)$ cuando los puntos del dominio $x$ tienden a $f(x)$ es $L$ .

A la proposición $L$ es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ , la denotamos así:
${ L=\lim_{x\rightarrow x_0 }f(x) }$

Definición de límite de una función en un punto por épsilon y delta

Se dice que la función $f(x)$ tiene como límite el número ${L\in\mathbb{R}}$ , cuando $x$ tiende a $x_0$ , si fijado un número real positivo $\varepsilon$ , mayor que cero, existe un numero positivo $\delta$ dependiente de $\varepsilon$ , tal que, para todos los valores de $x$ distintos de $x_0$ que cumplen la condición $\left | x-x_0 \right |< \delta$ , se cumple que $\left | f(x)-L \right |< \varepsilon$ .
Esto es,
${\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L \qquad \Leftrightarrow \qquad \exists \delta (\varepsilon )>0 \quad\mid\quad 0<\left | x-x_0 \right |<\delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right |<\varepsilon }$
La idea gráfica es la siguiente:

representacion gráfica del límite de una función en x

representacion gráfica del límite de una función en x

Definición de límite de una función en un punto a través de entornos

${\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L }$ si y sólo si, para cualquier entorno de $L$ que tomemos, por pequeño que sea su radio $\varepsilon$ , existe un entorno de $x_0, E_\delta (x_0)$ , cuyos elementos (sin contar $x_0$ ), tienen sus imágenes dentro del entorno de $L, E_\varepsilon(L)$ .

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